10 · Inferenzstatistik und Hypothesentests

Klinischer Aufhänger

3 Uhr morgens, eine Intensivpflegerin zeigt dir zwei Laktat-Listen: ein paar septische Patient:innen, der Rest mit anderen Aufnahmegründen. Ein Muster? Auf den ersten Blick nicht, die Werte streuen stark. Deine Stichprobe umfasst 500 fiktive Patient:innen, doch die Antwort soll für die dahinterliegende Population gelten. Dazu eine zweite Frage: Sterben Diabetiker:innen häufiger binnen 30 Tagen?

Beide verlangen mehr als ein Bauchgefühl. Inferenzstatistik beziffert die Unsicherheit, den Abstand zwischen dem, was wir sehen, und dem, was wirklich gilt.

1 Stichprobe vs. Population

Jede Studie beobachtet nur einen Ausschnitt der Wirklichkeit. Der Schätzwert aus der Stichprobe, z. B. der mittlere Laktatwert, schwankt von Studie zu Studie. Inferenzstatistik quantifiziert diese Schwankung: Wie weit könnte unsere Schätzung vom wahren Populationsparameter entfernt sein?

Das zentrale Werkzeug dafür ist das Konfidenzintervall (KI). Es entsteht aus der Stichprobenverteilung des Schätzers, nicht aus einer Wahrscheinlichkeitsaussage über einen fixen Wert.

2 Der p-Wert – richtig gelesen

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis so extrem oder extremer zu beobachten, wenn die Nullhypothese wahr wäre. Ausgeschrieben: P(Daten | H₀). Er sagt nichts über P(H₀ | Daten).

Was der p-Wert NICHT ist:

• ❌ Die Wahrscheinlichkeit, dass H₀ stimmt.
• ❌ Ein Maß für die klinische Relevanz.
• ❌ Ein Hinweis auf die Effektgröße.
• ❌ Eine Reproduzierbarkeitsgarantie.

Was er IST:

• ✅ Ein Test, ob die Daten mit H₀ vereinbar sind, gegeben das Studiendesign.
• ✅ Abhängig von der Stichprobengröße: bei N = 100 000 werden auch winzige, klinisch irrelevante Unterschiede signifikant.

3 Konfidenzintervalle als Ergebnismaß

KI sind informativer als p-Werte, weil sie Richtung und Größe der Unsicherheit zeigen. Zwei Prinzipien beim Lesen:

1. Schließt das KI 0 (bzw. OR = 1) ein? → Dann nicht signifikant auf dem gewählten Niveau.
2. Wie breit ist das KI? → Schmal = präzise Schätzung (großes N oder geringe Streuung). Breit = viel Unsicherheit.

Überlappende KI zweier Gruppen schließen Signifikanz nicht automatisch aus, das Überlappungs-Kriterium ist konservativ. Für einen formalen Vergleich brauchst du das KI der Differenz, nicht beider Einzelwerte.

Wichtig

Klinische vs. Statistische Signifikanz
Verlass dich nicht nur auf den p-Wert. Konfidenzintervalle (KI) zeigen dir, ob ein Effekt klinisch relevant ist: - Studie A: Hochgradig statistisch signifikant (p < 0,05, da das Intervall 0 nicht einschließt), aber klinisch völlig irrelevant (das gesamte Intervall liegt unter der Relevanzschwelle). Oft das Ergebnis extrem großer Fallzahlen. - Studie B: Statistisch nicht signifikant (p > 0,05, da das Intervall 0 einschließt), aber klinisch hochgradig relevant (großer Effekt, aber unterpowered wegen kleiner Fallzahl). - Studie C: Statistisch signifikant und klinisch voll relevant.

4 Testauswahl

Die Wahl des Tests hängt vom Messniveau und der Verteilung der Daten ab:

Wie wählt man? Nicht per Normalitätstest-Autopilot. Der Shapiro-Wilk-Test (scipy.stats.shapiro / shapiro.test) ist ein deskriptives Hilfsmittel, keine Entscheidungsregel: Bei großem N wird er schon durch klinisch harmlose Abweichungen signifikant, bei kleinem N übersieht er relevante. Wähle den Test stattdessen nach drei Kriterien: (1) der Schätzgröße (interessiert ein Mittelwertunterschied oder eine stochastische Überlegenheit?), (2) der im Plot (Histogramm, Boxplot) sichtbaren Form und (3) der Robustheit – bei N > 30 ist der Welch-t-Test dank zentralem Grenzwertsatz gegenüber moderater Schiefe robust. Für stark rechtsschiefe Marker wie Laktat oder CRP ist Mann-Whitney-U oft die ehrlichere Wahl, weil er die klinisch sinnvolle Frage (stochastische Überlegenheit) ohne Normalverteilungsannahme beantwortet – nicht, weil ein Test die Normalität „ablehnt". Modul 21 vertieft diese Entscheidungslogik und führt den „Normalitätstest-Autopilot" ausdrücklich als Fehlentscheidung auf.

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

cohort = pd.read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/kohorte.csv")
labs   = pd.read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/labor.csv")
df     = cohort.merge(labs, on="patient_id", how="left")

# --- Shapiro-Wilk: Normalverteilung prüfen ---
laktat = df["laktat_mmol_l"].dropna()
w_stat, p_sw = stats.shapiro(laktat)
print(f"Shapiro-Wilk: W={w_stat:.4f}, p={p_sw:.4f}  (Normalverteilung: {p_sw >= 0.05})")

# --- Mann-Whitney-U: Laktat – Sepsis vs. Nicht-Sepsis ---
sepsis   = df.loc[df["aufnahmegrund"] == "Sepsis",  "laktat_mmol_l"].dropna()
no_sepsis = df.loc[df["aufnahmegrund"] != "Sepsis", "laktat_mmol_l"].dropna()

u_stat, p_mw = stats.mannwhitneyu(sepsis, no_sepsis, alternative="two-sided")
r_rb = 2 * u_stat / (len(sepsis) * len(no_sepsis)) - 1   # rank-biserial r
print(f"U={u_stat:.0f}, p={p_mw:.4f}, Rang-biserialer r={r_rb:.3f}")

# --- Chi-Quadrat: Diabetes × Mortalität ---
ct = pd.crosstab(df["diabetes"], df["verstorben_30d"])
chi2, p_chi2, dof, _ = stats.chi2_contingency(ct, correction=False)
cramers_v = np.sqrt(chi2 / (ct.values.sum() * (min(ct.shape) - 1)))
print(f"χ²={chi2:.3f}, df={dof}, p={p_chi2:.4f}, Cramér's V={cramers_v:.3f}")

# --- Odds Ratio mit 95-%-KI ---
a, b = ct.iloc[1, 1], ct.iloc[1, 0]   # Diabetes=1
c, d = ct.iloc[0, 1], ct.iloc[0, 0]   # Diabetes=0
or_val   = (a * d) / (b * c)
log_se   = np.sqrt(1/a + 1/b + 1/c + 1/d)
or_lo, or_hi = np.exp(np.log(or_val) - 1.96*log_se), np.exp(np.log(or_val) + 1.96*log_se)
print(f"OR={or_val:.2f}, 95%-KI [{or_lo:.2f}, {or_hi:.2f}]")

# --- Bonferroni: 5 Labormarker ---
lab_markers = ["leukozyten_g_l", "haemoglobin_g_dl", "kreatinin_mg_dl",
               "laktat_mmol_l", "natrium_mmol_l"]
alpha_bonf = 0.05 / len(lab_markers)
print(f"Bonferroni-korrigiertes α = {alpha_bonf:.4f}")

SEED <- 42
suppressPackageStartupMessages(library(tidyverse))
set.seed(SEED)

cohort <- read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/kohorte.csv", show_col_types = FALSE)
labs   <- read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/labor.csv", show_col_types = FALSE)
df     <- left_join(cohort, labs, by = "patient_id")

# --- Shapiro-Wilk ---
shapiro.test(df$laktat_mmol_l |> na.omit())

# --- Mann-Whitney-U: Laktat – Sepsis vs. Nicht-Sepsis ---
sepsis   <- df |> filter(aufnahmegrund == "Sepsis") |> pull(laktat_mmol_l) |> na.omit()
no_sepsis <- df |> filter(aufnahmegrund != "Sepsis") |> pull(laktat_mmol_l) |> na.omit()

mw_res <- wilcox.test(sepsis, no_sepsis, alternative = "two.sided", correct = TRUE)
r_rb   <- 2 * mw_res$statistic / (length(sepsis) * length(no_sepsis)) - 1
cat(sprintf("W=%.0f, p=%.4f, Rang-biserialer r=%.3f\n", mw_res$statistic, mw_res$p.value, r_rb))

# --- Chi-Quadrat + Cramér's V ---
ct <- table(Diabetes = df$diabetes, Verstorben_30d = df$verstorben_30d)
chi_res  <- chisq.test(ct, correct = FALSE)
cramers  <- sqrt(chi_res$statistic / (sum(ct) * (min(dim(ct)) - 1)))
cat(sprintf("χ²=%.3f, p=%.4f, Cramér's V=%.3f\n", chi_res$statistic, chi_res$p.value, cramers))

# --- Bonferroni + Benjamini-Hochberg ---
lab_markers <- c("leukozyten_g_l", "haemoglobin_g_dl", "kreatinin_mg_dl",
                 "laktat_mmol_l", "natrium_mmol_l")
p_raw <- sapply(lab_markers, function(m) {
  a <- df |> filter(verstorben_30d == 1) |> pull(!!sym(m)) |> na.omit()
  b <- df |> filter(verstorben_30d == 0) |> pull(!!sym(m)) |> na.omit()
  t.test(a, b, var.equal = FALSE)$p.value
})
p.adjust(p_raw, method = "bonferroni")
p.adjust(p_raw, method = "BH")   # Benjamini-Hochberg (weniger konservativ)

7 Multiples Testen

Bei k unabhängigen Tests mit α = 0,05 steigt die familienweise Fehlerrate auf 1 − (1 − 0,05)^k, bei k = 5 rund 23 %, bei k = 20 schon 64 %. Irgendetwas wird garantiert „signifikant", nur ist es Zufall.

Bonferroni: α_korr = α / k. Einfach, konservativ, geeignet für wenige Tests oder wenn jeder einzelne Test entscheidungsrelevant ist (z. B. klinische Subgruppen).

Benjamini-Hochberg (FDR): Kontrolliert die False Discovery Rate, den Anteil falsch-positiver unter allen positiven Befunden. Bei vielen Tests (Genomik, Multi-Omics) deutlich mächtiger als Bonferroni.

Wann du Hilfe holst. Sobald du viele Endpunkte oder Subgruppen gleichzeitig testest, die Beobachtungen nicht unabhängig sind (Cluster, wiederholte Messungen), oder ein grenzwertiges Ergebnis eine klinische Entscheidung trägt, reicht eine Bonferroni-Korrektur nicht mehr — dann gehört die Teststrategie vorab mit einer Biostatistikerin festgelegt.

Fallstricke und Merksätze

• p < 0,05 ≠ klinisch relevant. Bei großen Stichproben wird praktisch jede Differenz signifikant. Entscheidend ist die Effektgröße.
• p > 0,05 ≠ kein Effekt. Es könnte an mangelnder Power liegen (zu kleines N oder zu kleiner wahrer Effekt).
• Einseitiger vs. zweiseitiger Test: Nur einseitig testen, wenn die Richtung a priori begründet ist, nie post hoc anpassen.
• Informative fehlende Werte: Laktat wird häufiger bei schwer kranken Patient:innen gemessen. Für deskriptive Kennzahlen (Mittelwert, Median, Table 1) verzerrt das systematisch — die beobachteten Werte überrepräsentieren die Schwerkranken. Ob es auch einen Gruppenvergleich oder einen Regressionskoeffizienten verzerrt, hängt davon ab, ob die Variable, von der das Fehlen abhängt (hier sofa_score), im Modell steht (→ Modul 14).
• Assoziation ≠ Kausalität. Alle Tests hier sind rein assoziativ. Konfounder können jede Assoziation erklären oder umkehren (→ Modul 12 und 15).
• Multiples Testen: Bei k Tests liegt die familienweise Fehlerrate bei 1 − (1−α)^k. Bonferroni ist einfach und konservativ; Benjamini-Hochberg (FDR) ein häufig genutzter Kompromiss.
• OR ≠ RR: Das Odds Ratio überschätzt das relative Risiko bei häufigen Ereignissen (>10 %). Für Prävalenzstudien den Unterschied explizit benennen.

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