12 · Regressionsmodelle: Lineare, logistische und Cox-Regression

Wegweiser. Dieses Modul führt vom Modell zum korrekt interpretierten Effekt.

Grundpfad (§1–§4, §6–§7). Die drei Modelltypen (linear, logistisch, Cox), wie man Koeffizienten liest, warum man für Confounder adjustiert — und die wichtigste Falle: einen Mediator nicht mitadjustieren (Overadjustment). Danach kannst du eine Regression rechnen und ihr Ergebnis sauber berichten.

Vertiefung (§5, ~20 min). Der Wahrheitsvergleich: warum eine Odds Ratio keine Hazard Ratio ist, wie wir aus dem Datengenerierungsprozess die wahren Effekte kennen, und woran man Stichprobenvarianz von echter Verzerrung unterscheidet. Lehrreich, aber zum Rechnen einer Regression nicht nötig.

Klinischer Aufhänger

Welche Faktoren sind unabhängig mit der 30-Tage-Mortalität unserer Intensivkohorte assoziiert? Alter, SOFA-Score, CRP, Diabetes und Aufnahmegrund liegen vor, und hängen alle untereinander zusammen. Eine Kreuztabelle reicht nicht: Die Regressionsanalyse betrachtet jeden Faktor unter Konstanthaltung der übrigen. Da der Datensatz synthetisch ist, kennen wir die wahren Koeffizienten und können unsere Schätzungen direkt dagegen prüfen.

1 Lineare Regression

Die lineare Regression modelliert einen stetigen Outcome als gewichtete Summe der Prädiktoren:

y = β₀ + β₁·x₁ + β₂·x₂ + … + ε

• β₀ (Intercept): erwarteter Wert, wenn alle Prädiktoren null sind.

• βⱼ: Änderung von y pro Einheit xⱼ, ceteris paribus, d. h. alle anderen Prädiktoren bleiben konstant.

• ε: Residuum, soll normalverteilt, unabhängig und mit konstanter Varianz (Homoskedastizität) sein.

Klinisches Beispiel: verweildauer_tage ~ sofa_score + alter. Jeder zusätzliche SOFA-Punkt ist mit βˢᵒᶠᵃ weiteren Tagen assoziiert, adjustiert für das Alter.

Voraussetzungen prüfen: Residuenplot (Residuen gegen Fitted Values) deckt Heteroskedastizität und Nichtlinearitäten auf; QQ-Plot prüft Normalverteilung der Residuen; VIF-Werte (> 10: Warnsignal) messen Multikollinearität.

Tipp

Residuendiagnostik: Homoskedastizität vs. Heteroskedastizität
Ein Kern-Check bei linearen Regressionsmodellen ist das Zeichnen der Residuen gegen die vorhergesagten Werte (Fitted Values): - Homoskedastizität: Die Residuen streuen als gleichmäßige Wolke um die Nulllinie. Die Modellannahme ist erfüllt. - Heteroskedastizität: Die Residuen bilden einen Trichter (die Varianz nimmt mit größeren vorhergesagten Werten zu). Das führt zu ungenauen Standardfehlern und verfälschten p-Werten.

2 Logistische Regression

Wenn der Outcome binär ist (verstorben: ja/nein), modelliert die logistische Regression die Log-Odds (Logit) des Ereignisses:

logit(p) = ln(p / (1−p)) = β₀ + β₁·x₁ + … + βₖ·xₖ

Die Odds Ratio (OR) für Prädiktor xⱼ ist exp(βⱼ):

Ein 95-%-Konfidenzintervall für die OR, das die 1,0 nicht einschließt, zeigt statistische Signifikanz an. Die Breite des KI zeigt die Präzision, schmale KI entstehen durch große Stichproben und häufige Ereignisse.

OR ≠ relatives Risiko (RR). Bei seltenen Ereignissen (< 10 %) sind OR und RR annähernd gleich. Bei häufigeren Ereignissen überschätzt die OR das RR erheblich. In unserer Kohorte liegt die 30-Tage-Mortalität bei ~15,6 %, also bereits über der 10-%-Schwelle: OR und RR laufen hier spürbar auseinander, und die OR überschätzt das tatsächliche relative Risiko. Genau deshalb in Publikationen immer explizit „Odds Ratio" schreiben, nie „Risiko" oder „Wahrscheinlichkeit".

Kalibrierung

Ein Modell, das für 100 Patient:innen eine 30-%-Mortalität vorhersagt, sollte auch ~30 tatsächlich Sterbende zeigen. Kalibrierung prüft diese Übereinstimmung zwischen vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten und beobachteter Ereignisrate: Hosmer-Lemeshow-Test oder, besser, eine Kalibrierungskurve (Observed vs. Predicted). Ohne Kalibrierung ist ein klinisches Prognosemodell unvollständig.

3 Cox-Regression

Zählt nicht nur, ob, sondern auch wann ein Ereignis eintritt, ist die Überlebenszeitanalyse das Mittel der Wahl. Die Kaplan-Meier-Kurve zeigt den Überlebensverlauf zweier Gruppen:

Die Cox-Regression modelliert die Hazard-Funktion, das momentane Ereignisrisiko zum Zeitpunkt t, unter der Bedingung, bis dahin überlebt zu haben:

h(t) = h₀(t) · exp(β₁·x₁ + … + βₖ·xₖ)

• h₀(t): Baseline-Hazard, wird nicht parametrisch spezifiziert (daher „semiparametrisches" Modell).

• Hazard Ratio (HR): exp(βⱼ), interpretiert wie die OR, aber bezogen auf das momentane Ereignisrisiko zu jedem Zeitpunkt.

• Zensierung: Patient:innen ohne Ereignis bis Studienende gehen zensiert ein. Das ist kein Datenverlust, sondern Information: „mindestens so lange überlebt". Ignorieren führt zu verzerrten Schätzungen.

Proportionale Hazards-Annahme: Die HR zwischen zwei Gruppen bleibt über die gesamte Beobachtungszeit konstant. Prüfung: Schoenfeld-Residuen (cox.zph() in R, check_assumptions() in lifelines) oder grafisch mit dem log-log-Plot.

4 Confounder und Adjustierung

Ein Confounder ist eine Variable, die sowohl mit dem Prädiktor als auch mit dem Outcome assoziiert ist, und so eine scheinbare Assoziation erzeugt oder eine echte verdeckt.

Beispiel: Ältere Patient:innen haben häufiger Diabetes und eine höhere Mortalität. Wer den Diabetes-Effekt ohne Altersjustierung schätzt, überschätzt ihn. In unserem synthetischen Datensatz kennen wir den wahren Effekt: β = 0,45 auf der Log-Hazard-Skala, also eine wahre direkte HR von 1,55 und eine wahre adjustierte OR von 1,71 (§5). Der rohe, unadjustierte Schätzer liegt systematisch höher.

Die Strategie: alle bekannten und gemessenen Confounder ins Modell aufnehmen. Was nicht gemessen wurde, bleibt unkontrolliert, die fundamentale Grenze jeder Beobachtungsstudie, die kein Regressionsmodell überwindet.

Direkter und totaler Effekt sind zwei verschiedene Zahlen — verwechsle sie nicht. Für Sepsis (wahre Hazard Ratios, aus der Datengenerierung berechnet):

Sepsis erhöht den SOFA-Score um ~3 Punkte, und jeder Punkt erhöht die Hazard. Deshalb ist der totale Effekt gut doppelt so groß wie der direkte. Wer bei der Frage „Wie viel gefährlicher ist eine Sepsis?" für den SOFA-Score adjustiert, berichtet 1,84 statt 3,93.

Am Beispiel der Verweildauer druckt code/python.py beides nebeneinander: Sepsis verlängert den Aufenthalt um +1,21 Tage (p = 0,002) — adjustiert man für den SOFA-Score, bleiben +0,38 Tage (p = 0,42) übrig, und der Effekt sieht aus, als gäbe es ihn nicht.

Vertiefung §5 — Wahrheitsvergleich: OR ≠ HR, die wahren Effekte, Varianz vs. Verzerrung (~20 min)Vertiefung — im Grundlagen-Modus eingeklappt

5 Wahrheitsvergleich

Die Kohorte wird von einem Weibull-Hazard-Modell erzeugt (data/generate_data.py). Dessen Koeffizienten (0,045 Alter; 0,28 SOFA; 0,45 Diabetes; 0,60 Sepsis; 0,40 aktives Rauchen) liegen damit auf der Log-Hazard-Skala. exp(β) ist eine wahre Hazard Ratio — keine Odds Ratio.

Merksatz

OR ≠ HR. Bei seltenen Ereignissen liegen sie nahe beieinander, bei 15,6 % Mortalität nicht mehr. Eine geschätzte OR gegen eine wahre HR zu halten, lässt einen unverzerrten Schätzer verzerrt aussehen.

lib/ground_truth.py spielt deshalb denselben Datengenerierungsprozess bei N = 2 000 000 nach und schätzt dort dasselbe logistische Modell. Das liefert die wahren Odds Ratios (relativer Monte-Carlo-Fehler < 0,5 %):

Prädiktor	wahre HR (exp β)	wahre OR
alter (pro Jahr, zentriert auf 64)	1,046	1,053
sofa_score	1,320	1,387
crp_mg_l	1,004	1,004
diabetes	1,549	1,710
sepsis (Aufnahmegrund)	1,835	2,046
aktiv_raucher	1,506	1,601

Die wahren ORs liegen durchweg weiter von 1 entfernt als die HRs. Wer die HR-Spalte als „wahre OR" in einen Forest Plot zeichnet, verschiebt jede rote Raute in dieselbe Richtung.

Der Forest Plot zeigt geschätzte Odds Ratios (blaue Punkte mit 95-%-KI) und die wahren Odds Ratios (rote Rauten) nebeneinander:

code/python.py druckt für jeden Lauf, ob das 95-%-KI die wahre OR überdeckt (nicht raten, nachrechnen!). Abweichungen sind Stichprobenvarianz, nicht Verzerrung: bei N = 500 und 78 Ereignissen ist das KI von diabetes breiter als der gesamte plausible Effektbereich. Zwei stabile Muster: crp_mg_l hat den kleinsten absoluten wahren Effekt, seine relative Abweichung wirkt deshalb oft groß. diabetes und sofa_score hängen strukturell zusammen (SOFA ist Mediator von Diabetes, siehe §4), das macht ihre Koeffizienten instabiler als den von alter. Bei N → ∞ konvergieren Maximum-Likelihood-Schätzer gegen die wahren Werte (Konsistenz des MLE).

Fallstrick

Stichprobenvarianz und Verzerrung sind verschiedene Dinge. Eine Stichprobe kann zufällig weit vom wahren Wert liegen (hohe Varianz) oder systematisch zu hoch/niedrig schätzen (Bias). Letzteres ist das Problem der Confounder-Unadjustiertheit, nicht der Stichprobengröße.

Für FortgeschritteneVertiefung

Bootstrap-Resampling illustriert die Variabilität von OR-Schätzungen empirisch: 1 000 Stichproben aus denselben Daten zeigen, wie breit die Verteilung der OR-Schätzer ist, eine intuitive Ergänzung zur analytischen 95-%-KI.

Fallstrick

Python und R rechnen die Koeffizienten-KI mit verschiedenen Methoden und drucken deshalb leicht abweichende Grenzen. result.conf_int() (statsmodels) liefert Wald-Intervalle (aus dem Standardfehler, symmetrisch auf der Log-Odds-Skala); R's confint(fit) liefert Profile-Likelihood-Intervalle. Bei seltenen Ereignissen ist die Profile-Likelihood-Variante vorzuziehen, weil sie die Asymmetrie der Likelihood berücksichtigt und nicht auf der Normalapproximation beruht. Die Punktschätzer (exp(β)) sind identisch; nur die Intervallränder unterscheiden sich.

import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.formula.api as smf
from lifelines import CoxPHFitter

df = pd.read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/kohorte.csv")
df["aktiv_raucher"] = (df["raucherstatus"] == "aktiv").astype(int)
df["sepsis"]        = (df["aufnahmegrund"] == "Sepsis").astype(int)
df["alter_z"]       = df["alter"] - 64        # zentrierung wie im Generator

# Logistische Regression — Odds Ratios mit 95-%-KI
formula = ("verstorben_30d ~ alter_z + sofa_score + crp_mg_l "
           "+ diabetes + sepsis + aktiv_raucher")
result = smf.logit(formula, data=df).fit(disp=False)
ci = result.conf_int()
print(np.exp(result.params))          # OR
print(np.exp(ci))                     # 95-%-KI

# Cox-Regression — fu_zeit_tage/status sind die echte Ereigniszeit,
# NICHT verweildauer_tage (das ist nur die deskriptive Verweildauer).
cox_df = df[["fu_zeit_tage", "status",
             "sofa_score", "alter_z", "sepsis"]].copy()
cph = CoxPHFitter()
cph.fit(cox_df, duration_col="fu_zeit_tage", event_col="status")
print(cph.summary[["exp(coef)", "exp(coef) lower 95%", "exp(coef) upper 95%"]])

suppressPackageStartupMessages(library(tidyverse))
suppressPackageStartupMessages(library(survival))

df <- read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/kohorte.csv", show_col_types = FALSE) |>
  mutate(aktiv_raucher = as.integer(raucherstatus == "aktiv"),
         sepsis        = as.integer(aufnahmegrund == "Sepsis"),
         alter_z       = alter - 64)

# Logistische Regression — Odds Ratios mit 95-%-KI
fit <- glm(verstorben_30d ~ alter_z + sofa_score + crp_mg_l +
             diabetes + sepsis + aktiv_raucher,
           data = df, family = binomial)
exp(coef(fit))
exp(suppressMessages(confint(fit)))

# Cox-Regression — fu_zeit_tage/status sind die echte Ereigniszeit,
# NICHT verweildauer_tage (das ist nur die deskriptive Verweildauer).
cox_fit <- coxph(Surv(fu_zeit_tage, status) ~
                   sofa_score + alter_z + sepsis + aktiv_raucher,
                 data = df)
summary(cox_fit)$conf.int

Fallstricke und Merksätze

• Assoziation ≠ Kausalität. Kein Regressionsmodell auf Beobachtungsdaten beweist Kausalität, egal wie viele Confounder adjustiert wurden.

• EPV ≥ 10. Faustregel: mindestens 10 Ereignisse pro Prädiktor im Modell. Mit 78 Ereignissen und 6 Prädiktoren in unserer Kohorte ergibt das EPV ≈ 13, solide über der Faustregel.

• Multikollinearität bläht Standardfehler auf und macht Koeffizienten instabil. VIF > 10 ist ein Warnsignal; VIF 5–10 ist zu beobachten.

• Complete Separation: Wenn ein Prädiktor das Outcome perfekt trennt, konvergiert die logistische Regression nicht, Koeffizienten laufen gegen ±∞. Lösung: Firth-Regression oder regularisierte Regression.

• OR bei häufigen Ereignissen überschätzt das RR. Immer explizit „Odds Ratio" formulieren, nie „Risiko" oder „Wahrscheinlichkeit".

• Kalibrierung nicht vergessen. Hohe AUC und gute Kalibrierung sind unabhängige Qualitätsmerkmale, beide sind klinisch relevant.

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