18 · Mixed-Effects-Modelle für Longitudinaldaten

Klinischer Aufhänger

Im geteilten Kohortendatensatz wird der mittlere arterielle Druck (MAP) nicht nur einmal, sondern an bis zu vier aufeinanderfolgenden Tagen pro Patient:in gemessen (vitalwerte.csv). 92 von 500 Patient:innen haben weniger als vier Messungen, die Daten sind also unbalanciert, wie in der echten Intensivmedizin üblich. Der Grund ist aber nicht bei allen 92 derselbe: 86 wurden planmäßig früh entlassen (kürzere Verweildauer, aber überlebt), nur 6 sind innerhalb von 30 Tagen verstorben. Diese beiden Ursachen sind statistisch nicht dasselbe, mehr dazu im Stolperstein am Ende dieses Moduls. Eine gewöhnliche lineare Regression (OLS) ignoriert außerdem, dass mehrere Messungen derselben Person nicht unabhängig voneinander sind. Ein Mixed Model erlaubt es, die individuelle Baseline jeder Person als „Random Effect" zu modellieren.

1 Hierarchische Daten und Fixed vs. Random Effects

Wenn Datenpunkte miteinander korreliert sind (wiederholte Messungen pro Patient:in, Patient:innen in verschiedenen Krankenhäusern), verletzen sie die OLS-Annahme unabhängiger Fehler.

• Fixed Effects (Feste Effekte): Die Prädiktoren, die uns primär interessieren (z. B. Tag der Messung, Diabetes-Status). Wir nehmen an, dass diese Effekte für die gesamte Population feststehen.
• Random Effects (Zufällige Effekte): Faktoren, deren Ausprägungen als Zufallsstichprobe aus einer größeren Population verstanden werden (z. B. die Patient:innen-ID). Sie modellieren die Variabilität zwischen den Gruppen.

Random Intercept vs. Random Slope

• Random Intercept: Jede:r Patient:in erhält eine eigene, individuelle Baseline (Verschiebung der Regressionsgeraden auf der y-Achse). Die Steigung (der Effekt über die Zeit) bleibt für alle gleich.
• Random Slope: Jede:r Patient:in darf zusätzlich einen eigenen Trend über die Zeit haben (die Regressionsgeraden haben unterschiedliche Steigungen).

import pandas as pd
import statsmodels.formula.api as smf

# 1. Wiederholte MAP-Messungen mit Basisdaten verknüpfen
vitalwerte = pd.read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/vitalwerte.csv")   # patient_id, tag, map_mmhg, ...
kohorte = pd.read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/kohorte.csv")[["patient_id", "diabetes"]]
df_long = vitalwerte.merge(kohorte, on="patient_id", how="left")

# 2. Random-Intercept-Modell fitten
# Random Intercept pro Patient:in via groups="patient_id"
model = smf.mixedlm("map_mmhg ~ tag + diabetes", df_long, groups=df_long["patient_id"])
result = model.fit(reml=True)

print(result.summary())

library(lme4)
library(readr)

vitalwerte <- read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/vitalwerte.csv")
kohorte <- read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/kohorte.csv")[, c("patient_id", "diabetes")]
df_long <- merge(vitalwerte, kohorte, by = "patient_id")

# (1 | patient_id) steht für einen Random Intercept pro ID
model <- lmer(map_mmhg ~ tag + diabetes + (1 | patient_id), data = df_long)
summary(model)

4 Was der Vergleich in den echten Daten zeigt

code/python.py (und die äquivalente code/r.R) fitten OLS und das Random-Intercept-Modell auf denselben 1 873 Messungen von 500 Patient:innen und drucken beide Koeffizienten und Standardfehler nebeneinander:

Die Punktschätzer liegen nah beieinander – das ist normal und kein Zeichen, dass Mixed Models überflüssig sind. Entscheidend ist der Unterschied bei den Standardfehlern:

Die Intraklassen-Korrelation (ICC) beträgt in dieser Kohorte 0,12 – etwa 12 % der Gesamtvarianz im MAP-Wert liegt zwischen Patient:innen statt innerhalb einer Person über die Zeit. Ein moderater, aber realer Effekt, deutlich kleiner als in stark korrelierten Verlaufsdaten (z. B. wiederholte Messungen innerhalb einer OP), aber genug, um die Standardfehler sichtbar zu verschieben.

Die Random-Intercept-Verteilung zeigt, wie viel individuelle Variabilität das Modell zusätzlich zum Populationsmittel einfängt: eine SD von rund 3 mmHg um den gemeinsamen Achsenabschnitt.

5 Generalized Estimating Equations (GEE)

Mixed Models schätzen subjektspezifische Effekte (z. B. "Wie verändert sich der Blutdruck eines bestimmten Patienten über die Zeit?").

Wenn dich stattdessen der durchschnittliche Populationseffekt interessiert (z. B. "Wie unterscheidet sich der mittlere Blutdruck aller Diabetiker:innen im Vergleich zu Nicht-Diabetiker:innen über die Zeit?"), sind Generalized Estimating Equations (GEE) oft die bessere Wahl.

Wann du Hilfe holst. Sobald der Dropout nicht ignorierbar ist (z. B. Truncation by Death), die Random-Effects-Struktur unklar bleibt, oder du zwischen LMM und GEE entscheiden musst, hol methodische Beratung — die falsche Korrelationsstruktur verzerrt genau die Standardfehler, wegen derer du das Mixed Model überhaupt rechnest.

Fallstricke und Merksätze

Stolperstein: Fehlende Messung ≠ kein Patient mehr am Leben. LMMs sind robust gegenüber echten fehlenden Messzeitpunkten (MCAR/MAR – die Messung existiert im Prinzip, wurde aber aus Gründen nicht erhoben, die mit dem unbeobachteten Wert selbst nichts zu tun haben), solange die Patient:innen mindestens eine Messung aufweisen. Das trifft in unserer Kohorte auf 86 der 92 unvollständigen Serien zu: planmäßig früh entlassene, überlebende Patient:innen. Du musst sie nicht ausschließen, nur weil ein Messtag fehlt.

Für die übrigen 6 Patient:innen, die innerhalb von 30 Tagen verstorben sind, gilt das nicht. Der MAP-Wert an Tag 3 einer Person, die an Tag 2 gestorben ist, fehlt nicht zufällig, er existiert nicht. Das ist Truncation by Death (Verkürzung durch Tod), kein Missing-Data-Problem, und keine MCAR/MAR- Annahme repariert das. Ein LMM, das nur auf den beobachteten Daten fittet, schätzt in Wahrheit die mittlere MAP-Verlaufskurve unter den noch lebenden, noch hospitalisierten Patient:innen, nicht unter allen aufgenommenen. Das Estimand selbst hat sich verschoben, nicht nur die Präzision der Schätzung.

In dieser synthetischen Kohorte ist der Effekt klein (nur 6 von 92 unvollständigen Serien betreffen einen Todesfall, verweildauer_tage wird hier unabhängig vom Überlebensstatus simuliert). In echten Intensivdaten ist der Anteil der Todesfälle an den unvollständigen Verläufen oft deutlich größer, und die Falle greift entsprechend stärker, gerade weil kränkere Patient:innen sowohl eher sterben als auch eher frühzeitig aus der Messreihe fallen.

Standard-Abhilfen: Joint Models für longitudinale und Survival-Daten (gemeinsame Modellierung von MAP-Verlauf und Sterbezeit), Principal Stratification / Survivor-Average Causal Effects (Schätzung innerhalb der Teilpopulation, die unter beiden Bedingungen überlebt hätte), oder das Estimand explizit einschränken und das auch so benennen („mittlerer Verlauf unter den Überlebenden" statt „mittlerer Verlauf in der Population").

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