14 · Fehlende Werte und Imputation

7 Rubin's rules, von Hand

Bis hier war pool() eine Blackbox. Sie ist keine. Aus m Analysen mit Schätzern Q̂ₗ und deren Varianzen Uₗ folgt alles mit vier Zeilen Arithmetik:

Q̄ = (1/m) · Σ Q̂ₗ                    gepoolter Punktschätzer
Ū = (1/m) · Σ Uₗ                    Within-Imputation-Varianz
B = 1/(m−1) · Σ (Q̂ₗ − Q̄)²           Between-Imputation-Varianz
T = Ū + (1 + 1/m) · B               Gesamtvarianz,  SE = √T

Ū ist die Unsicherheit, die du auch bei vollständigen Daten hättest. B ist die Unsicherheit, die allein daraus entsteht, dass du geraten hast. Die einfache Imputation setzt B = 0. Das ist ihr ganzer Fehler.

Der Term (1 + 1/m) korrigiert dafür, dass Q̄ nur m Monte-Carlo-Ziehungen mittelt. Er verschwindet mit wachsendem m:

Aus Ū und B folgen die drei Kennzahlen, die jeder MI-Bericht enthalten sollte:

Freiheitsgrade. Rubin (1987) schlug ν_alt = (m−1)/λ² vor — hier 730,6, mehr als die 496 Freiheitsgrade, die man mit vollständigen Daten hätte. Das ist offensichtlich unsinnig. Barnard & Rubin (1999) korrigieren das nach unten:

ν_com = n − k = 500 − 4 = 496
ν_obs = ((ν_com+1)/(ν_com+3)) · ν_com · (1 − λ)   = 414,3
ν_BR  = (ν_alt · ν_obs) / (ν_alt + ν_obs)          = 264,4

Ergebnis: Q̄ = −9,958, SE = 3,309, t = −3,009 bei ν_BR = 264,4 → p = 0,0029, 95-%-KI [−16,47; −3,44].

8 Wie viele Imputationen? (m)

Die alte Faustregel „m = 5 genügt" stammt aus einer Zeit, in der Rechenzeit knapp war. Sie zielt auf die Effizienz des Punktschätzers (RE oben ist schon bei m = 5 über 0,96) — nicht auf die Stabilität des Standardfehlers.

White, Royston & Wood (2011): m ≳ 100 · λ. Bei λ = 0,161 heißt das m ≳ 16; unser m = 20 genügt gerade.

Der Grund ist empirisch nachprüfbar. code/rubin.py wiederholt die gesamte Pipeline über 10 Seeds je m und misst, wie stark der gepoolte SE selbst schwankt:

9 Welche Methode? Nicht raten — messen

Weil wir die wahren pH-Werte kennen, lässt sich jede Methode prüfen statt bewerten. code/benchmark.py zieht 500-mal eine frische Kohorte aus dem Datengenerierungsprozess, wendet die Missingness an und fragt für jede Methode: Trifft sie den wahren Wert? Und ist ihr eigener Standardfehler ehrlich?

Zwei Diagnosen, die man nicht verwechseln darf:

• Bias — liegt der Punktschätzer systematisch daneben?
• SE-Ratio = berichteter SE / tatsächliche Streuung. Unter 1 heißt: die Methode behauptet mehr Präzision, als sie hat.
• Überdeckung — wie oft enthält das nominale 95-%-KI die Wahrheit? Soll 95 %.

Die Orakel-Zeile ist die Selbstkontrolle des Verfahrens: 95,2 % Überdeckung, also funktioniert der Prüfstand. Alles darunter ist ein echtes Ergebnis.

Drei Lehren, die man einzeln so nicht sieht:

1. Zwei verschiedene Wege, ein KI zu ruinieren. Mittelwert- und Median-Imputation scheitern über den Bias (+3,1) bei ehrlichem SE (Ratio 1,06). Die deterministische Regressions-Imputation scheitert über die Varianz: sie meldet nur 66 % der Streuung, die sie tatsächlich hat, und überdeckt in 73 % der Fälle — die schlechteste Zeile der Tabelle, obwohl sie von allen Einfachimputationen den kleinsten RMSE hat (0,0501).

2. Guter RMSE ≠ gute Inferenz. Die stochastische Regressions-Imputation hat den schlechtesten RMSE (0,0709 — sie addiert ja Rauschen) und trotzdem deutlich weniger Bias als der Median. Wer Imputationen danach auswählt, wie nah die eingesetzten Werte an der Wahrheit liegen, optimiert die falsche Größe.

3. Complete Case ist hier nicht das Problem. Für die Steigung überdeckt es 93,4 %. Der Schaden liegt woanders — siehe die nächste Tabelle.

Derselbe Datensatz, drei Schätzgrößen

10 MICE in der Praxis

code/mice_praxis.py und code/mice_praxis.R demonstrieren die vier Griffe, die in echten Analysen den Unterschied machen.

Passive Imputation: abgeleitete Variablen

Unsere Kohorte enthält groesse_cm, gewicht_kg und bmi, wobei per Definition bmi = gewicht_kg / (groesse_cm/100)². gewicht_kg und bmi fehlen bei denselben 30 Patient:innen.

Imputiert man beide als unabhängige Variablen, erfindet MICE Patient:innen, deren BMI ihrem eigenen Gewicht widerspricht:

naiv    |bmi_imputiert − gewicht_imputiert/(h/100)²| :  Mittel 0,418   max 2,592
passiv  |bmi_imputiert − gewicht_imputiert/(h/100)²| :  Mittel 0,000   max 0,000

Richtig ist die passive Imputation: imputiere gewicht_kg, leite bmi daraus ab. In R kann mice das nativ:

meth["bmi"] <- "~ I(gewicht_kg / (groesse_cm/100)^2)"
pred["gewicht_kg", "bmi"] <- 0   # sonst sagt bmi sein eigenes Gewicht voraus

Die Null in der Prädiktormatrix ist Pflicht: ohne sie speist sich bmi — eine deterministische Funktion von gewicht_kg — in die Imputation von gewicht_kg zurück, und der Gibbs-Sampler dreht sich im Kreis.

Grenzen: imputierte Werte müssen möglich sein

bga_ph liegt konstruktionsbedingt in [6,90; 7,60]. Ein unbeschränkter norm-Imputer darf darüber hinausschießen; PMM kann es nicht, weil er nur tatsächlich beobachtete Werte als Spender verwendet.

Ehrliches Messergebnis in unserem Fall: der norm-Imputer erzeugt über m = 20 0 von 1980 unmöglichen Werten. Die pH-Verteilung (SD ≈ 0,05) liegt schlicht zu weit von den Grenzen entfernt; die erwartete Anzahl Verletzungen ist ≈ 0,013. PMM bleibt garantiert im Bereich [7,225; 7,517] der beobachteten Werte.

Hilfsvariablen und Kongenialität

Das Imputationsmodell darf reicher sein als das Analysemodell — und muss es oft. Meng (1994) nennt den Gegensatz uncongeniality.

(a) verfehlt die Wahrheit um mehr als das Vierfache des Fehlers von (b) — weil das Outcome, von dem das Fehlen abhängt, gar nicht im Imputationsmodell steht. (c) fügt Hilfsvariablen hinzu, die im Analysemodell nicht vorkommen, und senkt die Fraktion fehlender Information von 0,461 auf 0,345.

Konvergenz: MICE ist ein Gibbs-Sampler

MICE zieht abwechselnd aus bedingten Verteilungen. Das muss man ansehen, nicht annehmen. Wir tracken Mittelwert und SD der imputierten pH-Werte über 20 Iterationen und 5 Ketten:

Gelman-Rubin R̂ = 0,983 (< 1,1): die Ketten durchmischen sich, kein Trend, kein Drift. Gesund.

11 MNAR: was, wenn MAR nicht stimmt?

MAR lässt sich aus den Daten nicht prüfen. Man kann nur zeigen, wie weit die Annahme verletzt sein müsste, damit die Schlussfolgerung kippt. Das leistet die Delta-Adjustment-Sensitivitätsanalyse (Pattern-Mixture-Form):

bga_ph_imputiert(δ) = bga_ph_imputiert(MAR) + δ

Nur die imputierten Werte werden verschoben, nie die beobachteten. δ ist die angenommene systematische pH-Differenz zwischen nicht gemessenen und sonst identischen gemessenen Patient:innen. δ = 0 ist die MAR-Analyse.

Welche Richtung ist konservativ? Nicht raten — rechnen. δ < 0 unterstellt, die nicht gemessenen Patient:innen seien azidotischer als das MAR-Modell vorhersagt. Das passt zu ihrer höheren Sterblichkeit und verstärkt den Effekt. δ > 0 unterstellt sie als unauffälliger — dann bleibt ihre Übersterblichkeit durch den pH unerklärt, und der Effekt schrumpft. δ > 0 ist die Richtung, nach der eine Gutachterin fragen wird.

Wie groß ist +0,02 eigentlich? Der Vergleich mit der Messungenauigkeit eines Blutgasanalysators wäre ein Kategorienfehler: Analysenrauschen ist zufällig, δ ist ein systematischer Gruppenunterschied. Das richtige Maß ist die bedingte Streuung des pH nach Adjustierung, hier 0,050. Der Kipppunkt liegt also bei 0,40 bedingten Standardabweichungen.