11 · Bayesianische Inferenz

Klinischer Aufhänger

In Modul 10 hast du gelernt: p > 0,05 heißt nicht „kein Effekt". Aber was sollst du der Oberärztin dann sagen? Sie will keine Aussage über hypothetische Wiederholungsstudien, sie will wissen: Wie wahrscheinlich ist es, dass die 30-Tage-Mortalität unserer Sepsis-Patient:innen höher liegt als die der übrigen?

Genau diese Frage — eine Wahrscheinlichkeitsaussage über den unbekannten Parameter selbst — beantwortet der frequentistische p-Wert prinzipiell nicht. Die bayesianische Inferenz beantwortet sie direkt. Wir bleiben bei der Kurskohorte (500 Intensivpatient:innen, 78 Todesfälle) und brauchen dafür kein MCMC, nur konjugierte Beta-Binomial-Rechnung.

1 Prior × Likelihood ∝ Posterior

Bayesianisches Denken hat drei Zutaten:

• Prior — was du über die Rate glaubst, bevor du diese Daten siehst (z. B. „Intensivmortalität liegt meist zwischen 10 % und 25 %").
• Likelihood — was die Daten sagen (78 von 500 verstorben).
• Posterior — dein aktualisierter Glaube, nachdem du die Daten gesehen hast.

Die Rechenregel ist der Satz von Bayes, hier in seiner proportionalen Kurzform:

Posterior ∝ Likelihood × Prior

Der Posterior ist keine Punktschätzung, sondern eine ganze Verteilung: für jede denkbare Mortalitätsrate sagt er, wie plausibel sie nach den Daten ist. Alles Weitere — Mittelwert, Intervall, Vergleich — liest man aus dieser Verteilung ab.

2 Beta-Binomial: die Mortalitätsrate

Für eine Rate (Anteil zwischen 0 und 1) ist die Beta-Verteilung der natürliche Prior. Sie ist konjugiert zur Binomialverteilung: Prior Beta(a, b) plus k Ereignisse in n Fällen ergeben wieder eine Beta-Verteilung, ganz ohne Simulation:

Prior Beta(a, b)  +  k Tote / n Patient:innen  →  Posterior Beta(a + k, b + n − k)

Mit dem uniformen Prior Beta(1, 1) („jede Rate zunächst gleich plausibel") und 78 Toten unter 500 wird der Posterior zu Beta(79, 423):

• Posterior-Mittel 0,157
• 95-%-Credible-Interval [0,127; 0,190]

Zum Vergleich das frequentistische Wilson-95-%-KI aus Modul 10/13: [0,127; 0,190] — bei n = 500 praktisch identisch. Das ist kein Zufall: Bei viel Datenmaterial dominiert die Likelihood, und beide Welten treffen sich.

Der entscheidende Unterschied liegt in der Interpretation. Das Credible Interval sagt genau das, was man beim Konfidenzintervall fälschlich glaubt:

3 Wie stark zieht der Prior?

Ein häufiger Einwand: „Dann bestimmt doch der Prior das Ergebnis." Meistens nicht — es kommt auf die Datenmenge an. Wir vergleichen einen schwachen Prior Beta(1, 1) mit einem starken Prior Beta(20, 80) (Mittel 0,20, so informativ wie 100 fiktive Patient:innen), einmal an der vollen Kohorte und einmal an einer frühen Zwischenanalyse (die ersten 30 Aufnahmen, nur 2 Tote):

An der vollen Kohorte bewegt der Prior das Posterior-Mittel kaum (0,157 vs. 0,163). An der Zwischenanalyse dagegen zieht der starke Prior das Ergebnis von 0,094 auf 0,169 — hier trägt der Prior, nicht die Daten.

4 Zwei Gruppen vergleichen

Jetzt die Aufhänger-Frage. Wir bilden für Sepsis- und Nicht-Sepsis-Patient:innen je einen Beta-Posterior (uniformer Prior) und betrachten die Posterior-Verteilung der Differenz der beiden Raten:

Die Differenz hat Mittel 0,267 mit 95-%-Credible-Interval [0,168; 0,370]. Und die Zahl, die die Oberärztin eigentlich wollte:

P(Sepsis-Mortalität > Nicht-Sepsis-Mortalität) = 1,00

Das ist keine „Ablehnung von H₀", sondern eine direkte Wahrscheinlichkeitsaussage über den klinischen Sachverhalt — genau die Aussage, die der p-Wert nicht liefern kann.

ROPE — praktische Äquivalenz. Ein statistisch klarer Unterschied kann klinisch belanglos sein. Die Region of Practical Equivalence (ROPE) ist ein vorab festgelegtes Band um null, innerhalb dessen ein Unterschied als klinisch vernachlässigbar gilt — hier ±0,05 (5 Prozentpunkte). Wir lesen ab, wie viel Posterior-Masse der Differenz innerhalb dieses Bandes liegt:

• Sepsis vs. Nicht-Sepsis: 0 % der Masse in der ROPE → ein klar realer, relevanter Unterschied.
• Hypertonie vs. keine Hypertonie: Differenz-Mittel 0,032, 95-%-CrI [−0,033; 0,100], rund 70 % der Masse in der ROPE.

Die 70 % sind die ehrliche bayesianische Formulierung für „kein klinisch relevanter Unterschied" — die Aussage, die ein nicht-signifikanter p-Wert gerade nicht treffen darf (Abwesenheit von Evidenz ≠ Evidenz für Abwesenheit, Modul 10). Sicher wäre praktische Äquivalenz erst, wenn das gesamte Credible-Interval in der ROPE läge; 70 % Masse ist ein starker, aber noch kein vollständiger Beleg.

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

df = pd.read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/kohorte.csv")
n = len(df)
k = int(df["verstorben_30d"].sum())

# 1) Posterior der Gesamtmortalität: uniformer Prior Beta(1, 1)
a_post, b_post = 1 + k, 1 + n - k          # Beta(79, 423)
mean = a_post / (a_post + b_post)
lo, hi = stats.beta.ppf([0.025, 0.975], a_post, b_post)
print(f"Posterior mean={mean:.4f}, 95% CrI [{lo:.4f}, {hi:.4f}]")

# 2) Prior-Sensitivitaet: schwach vs. stark, voll vs. Zwischenanalyse
for a0, b0 in [(1, 1), (20, 80)]:
    m_full = (a0 + k) / (a0 + b0 + n)
    print(f"Prior Beta({a0},{b0}): Vollkohorte mean={m_full:.4f}")

# 3) Zwei Gruppen: Posterior der Differenz per Monte-Carlo
rng = np.random.default_rng(42)
sep = df["aufnahmegrund"] == "Sepsis"
k1, n1 = int(df.loc[sep, "verstorben_30d"].sum()), int(sep.sum())
k0, n0 = int(df.loc[~sep, "verstorben_30d"].sum()), int((~sep).sum())
p1 = rng.beta(1 + k1, 1 + n1 - k1, 200_000)
p0 = rng.beta(1 + k0, 1 + n0 - k0, 200_000)
diff = p1 - p0
print(f"Differenz mean={diff.mean():.4f}, "
      f"CrI [{np.quantile(diff, 0.025):.4f}, {np.quantile(diff, 0.975):.4f}]")
print(f"P(Sepsis > Nicht-Sepsis) = {np.mean(diff > 0):.4f}")

# 4) ROPE +/- 0.05 auf der Differenz
print(f"Masse in ROPE = {np.mean((diff > -0.05) & (diff < 0.05)):.4f}")

df <- read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/kohorte.csv", show_col_types = FALSE)
n <- nrow(df); k <- sum(df$verstorben_30d)

# 1) Posterior der Gesamtmortalitaet: uniformer Prior Beta(1, 1)
a_post <- 1 + k; b_post <- 1 + n - k          # Beta(79, 423)
ci <- qbeta(c(0.025, 0.975), a_post, b_post)
cat(sprintf("Posterior mean=%.4f, 95%% CrI [%.4f, %.4f]\n",
            a_post / (a_post + b_post), ci[1], ci[2]))

# 2) Prior-Sensitivitaet: schwach vs. stark
for (p in list(c(1, 1), c(20, 80))) {
  cat(sprintf("Prior Beta(%d,%d): Vollkohorte mean=%.4f\n",
              p[1], p[2], (p[1] + k) / (p[1] + p[2] + n)))
}

# 3) Zwei Gruppen: Posterior der Differenz per Monte-Carlo
set.seed(42)
sep <- df$aufnahmegrund == "Sepsis"
k1 <- sum(df$verstorben_30d[sep]);  n1 <- sum(sep)
k0 <- sum(df$verstorben_30d[!sep]); n0 <- sum(!sep)
diff <- rbeta(2e5, 1 + k1, 1 + n1 - k1) - rbeta(2e5, 1 + k0, 1 + n0 - k0)
cat(sprintf("Differenz mean=%.4f, CrI [%.4f, %.4f]\n",
            mean(diff), quantile(diff, 0.025), quantile(diff, 0.975)))
cat(sprintf("P(Sepsis > Nicht-Sepsis) = %.4f\n", mean(diff > 0)))

# 4) ROPE +/- 0.05 auf der Differenz
cat(sprintf("Masse in ROPE = %.4f\n", mean(diff > -0.05 & diff < 0.05)))

Fallstricke und Merksätze

• Der Prior ist eine Entscheidung, kein Naturgesetz. Er muss begründet und im Bericht offengelegt werden — sonst ist die Analyse nicht nachvollziehbar.
• Garbage Prior → Garbage Posterior. Ein stark informativer, aber falscher Prior verzerrt das Ergebnis besonders dann, wenn die Daten knapp sind.
• Credible Interval ≠ Konfidenzintervall. Nur das Credible Interval ist eine Wahrscheinlichkeitsaussage über den Parameter; verwechsle die beiden nie im Bericht.
• ROPE braucht eine klinisch gesetzte Grenze. Das Band (hier ±0,05) muss vorab und fachlich begründet festgelegt werden, nicht so, dass das gewünschte Ergebnis herauskommt.
• Bei viel Daten konvergieren beide Welten. Bei n = 500 stimmen Credible Interval und Wilson-KI numerisch überein — der Unterschied ist die Interpretation, nicht die Zahl.

Selbstcheck

Abschluss

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