Lösungen

Lösung 1: Posterior von Hand

1. Posterior. Beta-Binomial-Update: aus Prior Beta(a, b) und k Ereignissen in n Fällen wird Beta(a + k, b + n − k).

    Prior Beta(2, 8),  k = 5,  n = 20
    Posterior = Beta(2 + 5, 8 + 20 − 5) = Beta(7, 23)
    

2. Posterior-Mittel. Der Mittelwert einer Beta(a, b) ist a / (a + b).

    Mittel = 7 / (7 + 23) = 7 / 30 = 0,2333  ≈  0,233
    

3. Vergleich mit dem Datenanteil. Der reine Datenanteil ist 5/20 = 0,250, das Prior-Mittel ist 2/(2+8) = 0,200. Der Posterior (0,233) liegt zwischen beiden und wird vom Prior nach unten gezogen: Der Prior fügt gleichsam 2 Ereignisse in 10 fiktiven Fällen hinzu, und weil er in Richtung 0,20 zeigt, sinkt die Schätzung von 0,250 auf 0,233.

Lösung 2: Warum der Prior an der großen Kohorte kaum zählt

1. Posterior und Mittel.

    Prior Beta(2, 8),  k = 100,  n = 400
    Posterior = Beta(2 + 100, 8 + 400 − 100) = Beta(102, 308)
    Mittel = 102 / (102 + 308) = 102 / 410 = 0,24878  ≈  0,249
    

2. Verschiebung gegenüber dem Datenanteil. Der reine Datenanteil ist 100/400 = 0,250.

    Verschiebung = 0,250 − 0,24878 = 0,00122  ≈  0,12 Prozentpunkte
    

Der Prior bewegt das Ergebnis also um gut einen Zehntel-Prozentpunkt — praktisch nichts.

3. Erklärung. Der Prior Beta(2, 8) ist nur 10 fiktive Fälle wert; sein Gewicht ist 10 / (10 + 400) ≈ 2,4 %. Bei nur 20 realen Fällen (Übung 1) betrug sein Gewicht dagegen 10 / (10 + 20) ≈ 33 %. Je mehr echte Daten, desto stärker überstimmt die Likelihood den Prior — bei knappen Daten trägt er, bei reichlichen verschwindet er.

Lösung 3: Praktische Äquivalenz beurteilen

1. Null im Intervall? Das 95-%-Credible-Interval [−0,03; 0,05] schließt die Null ein. Es gibt also keinen klar gerichteten Unterschied zwischen den Armen: Sowohl ein kleiner Vorteil für A als auch für B ist mit den Daten vereinbar.

2. Ganz in der ROPE? Das Intervall [−0,03; 0,05] liegt vollständig innerhalb der ROPE ±0,05 (die obere Grenze berührt die Bandkante gerade). Damit ist die Bedingung für praktische Äquivalenz erfüllt: Der Unterschied ist mit hoher Wahrscheinlichkeit klinisch vernachlässigbar (< 5 Prozentpunkte). Das ist die starke Form des Befunds — anders als „70 % der Masse in der ROPE" (README, Abschnitt 4), wo ein Teil des Intervalls noch außerhalb lag.

3. Formulierung für die Klinik. Beispiel:

   Die Komplikationsraten der beiden Arme unterscheiden sich mit hoher Wahrscheinlichkeit um weniger als 5 Prozentpunkte (Differenz 0,01, 95-%-Credible-Interval [−0,03; 0,05], vollständig innerhalb der vorab festgelegten Äquivalenzgrenze). Die Arme sind damit als praktisch gleichwertig anzusehen.