Lösungen

Alle Zahlen stammen aus code/python.py (Seed 42). Das R-Skript code/r.R liefert dieselben Werte; nur die multiple Imputation weicht leicht ab, weil sie stochastisch ist und mice predictive mean matching statt Regressions-Imputation nutzt.

Aufgabe 1 – Missingness-Tabelle

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
from statsmodels.imputation import mice

df = pd.read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/kohorte.csv").merge(
    pd.read_csv("https://schradern.github.io/data-science-coach/data/labor.csv"), on="patient_id", how="left")
print(df.isna().mean().loc[lambda s: s > 0].sort_values(ascending=False))

Nennenswert fehlen bga_ph und laktat_mmol_l. Die ~6 % beim bmi sind MCAR und kosten nur Power.

Aufgabe 2 – Wer fehlt?

work = df.assign(laktat_fehlt=df["laktat_mmol_l"].isna().astype(int),
                 bga_fehlt=df["bga_ph"].isna().astype(int))
for col in ["laktat_fehlt", "bga_fehlt"]:
    print(smf.logit(f"{col} ~ sofa_score + verstorben_30d", data=work).fit(disp=0).summary())

Laktat fehlt nach Schweregrad: je höher der SOFA-Score, desto seltener fehlt es — Schwerkranke bekommen häufiger eine BGA. Das Outcome erklärt nichts.

Der pH fehlt nach Outcome: Verstorbene haben ein exp(1,455) ≈ 4,3-fach höheres Odds, keinen pH-Wert zu haben. Konkret fehlt der pH bei 41,0 % der Verstorbenen und bei 15,9 % der Überlebenden.

Aufgabe 3 – Die Entscheidung

1. Das Fehlen von laktat_mmol_l hängt vom sofa_score ab.
2. Ja, sofa_score steht im Modell.
3. Unverzerrt. Hängt die Missingness nur von Variablen ab, auf die das Modell ohnehin konditioniert, dann ist P(Y | X) unter den vollständigen Fällen dieselbe Verteilung wie in der Gesamtkohorte. Complete Case schätzt hier alle Koeffizienten korrekt und kostet nur Präzision:

   complete-case β(laktat) = +0,084   (95 % KI −0,113 bis +0,281)
   

4. Verzerrt. Der Mittelwert ist eine marginale Kennzahl, kein bedingter Schätzer. Weil Schwerkranke (hohes Laktat) überrepräsentiert sind, liegt der beobachtete Mittelwert von 2,16 mmol/l über dem wahren Kohortenmittel. Eine Table 1 aus vollständigen Fällen beschreibt die falsche Kohorte.

Aufgabe 4 – Was Complete Case beim pH kostet

• Das Odds Ratio überlebt (2,67 vs. 2,76 — der Unterschied ist Rauschen).
• Intercept und absolutes Risiko brechen: 0,076 statt 0,106, also 28 % zu niedrig.

Warum: Die Selektion erfolgt nach dem Outcome Y, nicht nach den Prädiktoren. In einem logistischen Modell verschiebt eine Selektion nach Y ausschließlich den Intercept — die Steigungen bleiben unverzerrt. Das ist exakt derselbe Grund, aus dem man aus einer Fall-Kontroll-Studie Odds Ratios schätzen darf, aber keine Prävalenz (Prentice & Pyke 1979).

Klinisch: Das Modell erkennt korrekt, dass Azidose das Risiko erhöht, und sagt jeder Patient:in trotzdem eine zu gute Prognose voraus. Wer nur Odds Ratios berichtet, bemerkt den Fehler nie.

Sichtbar schon an der Kohorte selbst:

volle Kohorte        N=500   30-Tage-Mortalität 15,6 %
vollständige Fälle   N=401   30-Tage-Mortalität 11,5 %

Aufgabe 5 – Median- gegen multiple Imputation

Der Widerspruch: Die Median-Imputation setzt 99 Patient:innen auf exakt denselben pH-Wert. Damit

1. schrumpft der Effekt. Die künstliche Punktwolke am Median trägt keinen Zusammenhang mit dem Outcome bei; das verdünnt die Steigung gegen Null (regression dilution): OR 2,76 → 1,78.
2. schrumpft der Standardfehler. Das Modell sieht 500 statt 401 Beobachtungen und behandelt die 99 erfundenen Werte wie gemessene.

Der SE ist also nicht kleiner, weil mehr Information vorläge, sondern weil die Methode so tut. Rubin's rules addieren die Between-Imputation-Varianz wieder hinzu: der MI-Standardfehler (3,64) ist ehrlich größer als der der Median-Imputation und kleiner als der der Complete-Case-Analyse (3,77), die ganze Fälle verwirft.

Aufgabe 6 – Das Imputationsmodell sabotieren

imputer.set_imputer("bga_ph", "alter + sofa_score")   # ohne verstorben_30d

Es bricht das Odds Ratio, nicht das absolute Risiko — das Spiegelbild von Aufgabe 4.

Mechanismus: Ohne verstorben_30d werden die fehlenden pH-Werte allein aus alter und sofa_score vorhergesagt, also unabhängig vom Outcome. Die 99 imputierten Patient:innen tragen per Konstruktion keinen pH-Outcome-Zusammenhang bei, und die gepoolte Steigung wird gegen Null verdünnt — genau wie bei der Median-Imputation. Die Missingness war MAR gegeben das Outcome; lässt man das Outcome weg, ist sie es nicht mehr.

Aufgabe 7 – Rubin's rules von Hand

Vollständig in code/rubin.py / code/rubin.R.

1. Aus den m = 20 Fits (Python, statsmodels):

Q̄  = -9,9576      Ū = 9,1857      B = 1,6821
T  = Ū + (1 + 1/20)·B = 9,1857 + 1,7662 = 10,9519
SE = √T = 3,3094

MICE.combine() auf denselben vervollständigten Datensätzen liefert exakt Q̄ = -9,957600, SE = 3,309358 — bis auf Gleitkommarauschen identisch. Rubin's rules sind keine Blackbox, sondern vier Zeilen Arithmetik.

2.

r  = (1 + 1/20)·B / Ū = 0,1923
λ  = (1 + 1/20)·B / T = 0,1613
RE = 1 / (1 + λ/m)    = 0,9920

λ = 0,161 heißt: 16,1 % der Unsicherheit über den pH-Koeffizienten entstehen daraus, dass 99 Werte fehlen; die übrigen 83,9 % hätte man auch bei vollständigen Daten. RE = 0,992 heißt: m = 20 schöpft 99,2 % der Effizienz von m = ∞ aus — für den Punktschätzer. Für den Standardfehler gilt das nicht (siehe Aufgabe 8).

3.

ν_alt = (m − 1)/λ² = 19 / 0,0260 = 730,6
n − k                            = 496

ν_alt ist größer als die Freiheitsgrade bei vollständigen Daten. Das ist offensichtlich absurd: fehlende Werte können keine Information hinzufügen. Rubins Formel von 1987 nimmt implizit n → ∞ an. Barnard & Rubin (1999) korrigieren:

ν_com = 496
ν_obs = ((496+1)/(496+3)) · 496 · (1 − 0,1613) = 414,3
ν_BR  = (730,6 · 414,3)/(730,6 + 414,3)        = 264,4

Ergebnis: t = −3,009, p = 0,0029, 95-%-KI [−16,47; −3,44].

4. Mit B = 0:

T  = Ū = 9,1857      SE = 3,0308      (statt 3,3094)

Das ist genau das, was eine Einfachimputation berichtet: sie behandelt die 99 geratenen Werte als gemessen und lässt die Between-Varianz weg. Der Standardfehler fällt um 8,4 %, ohne dass ein einziges Datum hinzugekommen wäre. B ist die Unsicherheit der Imputation. Sie wegzulassen ist der gesamte Fehler der Einfachimputation.

Aufgabe 8 – Wie viele Imputationen?

1. m ≳ 100 · λ = 100 · 0,1613 = 16,1. Mit m = 20 ist die Faustregel (White, Royston & Wood 2011) gerade erfüllt — kein Spielraum.

2./3. code/rubin.py wiederholt die gesamte Pipeline über 10 Seeds je m:

Bei m = 2 schwankt der berichtete Standardfehler um 20 % — allein je nach Zufallsseed. Bei m = 5 sind es noch ~7 %.

Aufgabe 9 – Eine Methode überführen

1. Der Widerspruch (RMSE gegen Überdeckung). Die deterministische Regressions-Imputation setzt jeden fehlenden pH auf seinen bedingten Erwartungswert E[pH | alter, sofa, outcome]. Das ist per Definition der Wert, der den mittleren quadratischen Fehler minimiert — deshalb der beste RMSE (0,0501).

Genau dadurch entfernt sie aber die Streuung aus den imputierten Werten. Die 99 imputierten Patient:innen liegen alle exakt auf der Regressionsfläche, ohne Residualvarianz. Das Analysemodell hält diese künstliche Enge für echte Information und meldet einen viel zu kleinen Standardfehler: SE-Ratio 0,66, d. h. es berichtet nur 66 % der Streuung, die es tatsächlich hat. Überdeckung: 73,2 % statt 95 %.

2. Mittelwert-Imputation: ehrlicher SE, trotzdem kaputt. Ihre SE-Ratio ist 1,06 — der Standardfehler stimmt also. Sie scheitert nicht an der Varianz, sondern am Bias: +3,08 auf einem wahren Wert von −9,52, also knapp ein Drittel des Effekts weg. Ein korrekt breites Intervall um einen falschen Punkt trifft die Wahrheit trotzdem nicht: 83,8 %.

Ein Konfidenzintervall kann auf zwei Weisen versagen: es liegt an der falschen Stelle (Bias) oder es hat die falsche Breite (Varianz). Die Tabelle enthält je ein Lehrbuchbeispiel.

3. Complete Case: Steigung 93,4 %, absolutes Risiko 57,0 %. In einem Prognosemodell ist das absolute Risiko die Zahl, die man einer Patientin nennt. Ein nominal 95-prozentiges Intervall, das die Wahrheit in 43 % der Fälle verfehlt, ist unbrauchbar — unabhängig davon, wie korrekt das Odds Ratio ist.

Daraus folgt: die Methodenwahl hängt vom Estimand ab. Willst du nur den Effekt (OR) berichten, ist Complete Case hier vertretbar. Willst du Risiken vorhersagen oder kalibrieren, brauchst du MI (93,6 % Überdeckung auf dem Risiko). Der Missing-Indikator ist für die Vorhersage attraktiv, weil „nicht gemessen" zur Anwendungszeit bekannt und selbst prädiktiv ist — für die kausale Effektschätzung ist er ungeeignet, weil der Indikator zum Kollider wird, sobald das Fehlen vom Outcome abhängt.

Aufgabe 10 – MNAR beziffern

Vollständig in code/mnar_delta.py.

1./2. Nur die imputierten Werte werden verschoben, die beobachteten nie (das Skript prüft das per Assertion):

Der Kipppunkt liegt bei δ = +0,02.

3. Die bedingte Streuung des pH (Residual-SD nach Adjustierung für Alter, SOFA und Outcome) beträgt 0,050. Der Kipppunkt entspricht also 0,02 / 0,050 = 0,40 bedingten Standardabweichungen.

Der Vergleich mit der Messungenauigkeit des Blutgasanalysators wäre ein Kategorienfehler: Analysenrauschen ist zufällig und mittelt sich über 99 Patient:innen praktisch weg. δ ist ein systematischer Unterschied im wahren Mittelwert zwischen gemessenen und nicht gemessenen Patient:innen — er mittelt sich nicht weg. Das richtige Maß ist die Streuung, die das Imputationsmodell ohnehin nicht erklären kann.

4. Antwort an die Gutachterin:

Die Schlussfolgerung hält, solange die nicht gemessenen Patient:innen im wahren pH um weniger als 0,02 Einheiten — 0,4 bedingte Standardabweichungen — von dem abweichen, was das Imputationsmodell für sie annimmt. Sie müsste zudem in die Richtung abweichen, die ihrer höheren Sterblichkeit widerspricht: die unbeobachteten Patient:innen müssten trotz ihrer Übersterblichkeit unauffälligere pH-Werte gehabt haben. Wir halten das für unplausibel, geben die Annahme aber offen an und berichten den Kipppunkt, statt MAR unbelegt zu behaupten.

Aufgabe 11 – Bericht

Umgang mit fehlenden Werten. Der arterielle pH fehlte bei 99 von 500 Patient:innen (19,8 %), Laktat bei 86 (17,2 %), der BMI bei 30 (6,0 %). Das Fehlen des pH-Werts war mit der 30-Tage-Mortalität assoziiert (41,0 % der Verstorbenen gegenüber 15,9 % der Überlebenden), nicht jedoch mit Alter oder SOFA-Score. Das Fehlen von Laktat war umgekehrt mit dem SOFA-Score assoziiert (β = −0,27; p < 0,001) und unabhängig vom Outcome.

Die Hauptanalyse verwendet daher multiple Imputation (m = 20, Seed 42, Rubin's rules mit Barnard–Rubin-Freiheitsgraden); das Imputationsmodell enthielt Alter, SOFA-Score und das Outcome. Die Fraktion fehlender Information für den pH-Koeffizienten betrug λ = 0,16, womit m = 20 die Empfehlung m ≳ 100·λ erfüllt. Eine Complete-Case-Analyse als Sensitivitätsanalyse lieferte vergleichbare Odds Ratios (2,67 vs. 2,59 je 0,1 pH-Abfall), aber systematisch zu niedrige absolute Risiken (−28 % am Referenzpatienten), da vollständige Fälle die Verstorbenen unterrepräsentieren. Eine Delta-Adjustment-Analyse zeigte, dass die Schlussfolgerung bis zu einer angenommenen systematischen pH-Differenz von +0,02 Einheiten (0,4 bedingte Standardabweichungen) zwischen nicht gemessenen und gemessenen Patient:innen bestehen bleibt. Auf Complete-Case-basierte absolute Risiken wird verzichtet.

Was der Absatz leistet: Fehlquoten pro Variable; der Mechanismus mit Zahlen statt Vermutungen belegt; Imputationsmodell, m, Seed und λ explizit benannt; die Sensitivitätsanalyse beziffert statt behauptet — und die Aussage, welche Schlussfolgerung stabil ist und welche Größe deshalb nicht berichtet wird.